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Théorème de Thalès

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Les puissantes procédures possibles avec les mathématiques modernes sont enracinées dans une logique qui a commencé il y a des milliers d'années. Le théorème de Thales démontre un style de logique mathématique ancienne, une logique qui est pertinente et importante aujourd'hui.


Thalès de Milet (vers 620 av. J.-C.—vers 546 av. J.-C.)

L'ancien philosophe grec Thalès est né à Milet en Ionie grecque. Aristote, la principale source de la philosophie et de la science de Thalès, a identifié Thalès comme la première personne à enquêter sur les principes de base, la question des substances originaires de la matière et, par conséquent, comme le fondateur de l'école de philosophie naturelle. Thales s'intéressait à presque tout, enquêtant sur presque tous les domaines de la connaissance, de la philosophie, de l'histoire, des sciences, des mathématiques, de l'ingénierie, de la géographie et de la politique. Il a proposé des théories pour expliquer de nombreux événements de la nature, la substance primaire, le support de la terre et la cause du changement. Thales était très impliqué dans les problèmes d'astronomie et a fourni un certain nombre d'explications d'événements cosmologiques qui impliquaient traditionnellement des entités surnaturelles. Son approche interrogative de la compréhension des phénomènes célestes était le début de l'astronomie grecque. Les hypothèses de Thalès étaient nouvelles et audacieuses, et en libérant les phénomènes de l'intervention divine, il a ouvert la voie à l'effort scientifique. Il fonda l'école milésienne de philosophie naturelle, développa la méthode scientifique et initia les premières lumières occidentales. Un certain nombre d'anecdotes sont étroitement liées aux investigations de Thales sur le cosmos. Lorsqu'elles sont considérées en association avec ses hypothèses, elles prennent un sens supplémentaire et sont des plus éclairantes. Thalès était très estimé dans les temps anciens, et une lettre citée par Diogène Laërce, et prétendant être d'Anaximène à Pythagore, conseillait que tout notre discours devrait commencer par une référence à Thalès (D.L. II.4).

Table des matières


Premières preuves : Thales et les débuts de la géométrie

La géométrie orientée preuve a commencé avec Thales. Les théorèmes qui lui sont attribués résument deux manières de faire des mathématiques, suggérant que l'idée de preuve pourrait provenir de l'une ou l'autre de deux sources : l'attention portée aux modèles et aux relations qui émergent de la construction exploratoire et du jeu, ou la réalisation que des choses « évidentes » peuvent être démontrée à l'aide de définitions formelles et de preuve par contradiction.

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Comment les preuves ont-elles commencé ? C'est comme une énigme de la poule ou de l'œuf. Pourquoi quelqu'un s'assoirait-il et se dirait-il « Je vais prouver des théorèmes aujourd'hui » alors que personne n'avait jamais fait une telle chose auparavant ? Comment cette idée a-t-elle pu entrer dans l'esprit de quelqu'un à l'improviste comme ça ?

En fait, nous connaissons en quelque sorte la réponse. La tradition grecque nous dit qui a eu ce moment d'ampoule : Thalès. Vers l'an -600 environ. Des centaines d'années avant que nous ayons des sources historiques directes pour la géométrie grecque. Mais nous savons toujours en quelque sorte ce que Thales a prouvé, plus ou moins. Des sources ultérieures nous parlent de Thales. L'histoire est peut-être mélangée à la légende dans ce genre de récits, mais les aspects clés sont susceptibles d'être assez fiables. Plus de réalité que de fiction. Analysons cette question, la question de la crédibilité, un peu plus en profondeur plus tard, mais prenons d'abord les histoires pour argent comptant et voyons comment nous pouvons revivre la création de la géométrie déductive telle qu'elle est véhiculée dans ces histoires grecques.

Alors, c'est parti : quel a été le premier théorème jamais prouvé ? Quelle a été l'étincelle qui a déclenché le feu de forêt des mathématiques axiomatiques-déductives ? La meilleure estimation, basée sur des preuves historiques, va comme ceci. Ce moment de coup de foudre, ce théorème qui nous a ouvert les yeux sur la puissance de la preuve mathématique, était : Qu'un diamètre coupe un cercle en deux.

Assez décevant, n'est-ce pas? Quel théorème boiteux. C'est à peine un théorème du tout. Comment pouvez-vous tomber amoureux de la géométrie en prouvant quelque chose d'aussi trivial et évident ?

Mais ne désespérez pas. C'est sympa, en fait. Il ne s'agit pas du théorème, mais de la preuve.

Voici comment vous le prouvez. Supposons que non. Ce sera une preuve par contradiction. Supposons que le diamètre ne divise pas le cercle en deux moitiés égales. Très bien, nous avons donc une ligne passant par le milieu d'un cercle, et elle est coupée en deux morceaux. Et nous supposons que ces deux pièces ne sont pas les mêmes. Prenez l'un des morceaux et retournez-le sur l'autre. Comme si vous pliiez une omelette ou une crêpe. Les pièces n'étaient pas égales, nous avons supposé, donc lorsque vous retournez l'une sur l'autre, elles ne correspondent pas. Il doit donc y avoir un endroit où l'une des deux pièces dépasse de l'autre. Maintenant, tracez un rayon dans cette direction, du milieu du cercle à l'endroit du périmètre où les deux moitiés ne correspondent pas. Alors un rayon est plus long que l'autre. Mais cela signifie que la chose n'était pas un cercle pour commencer. Un cercle est une figure qui est également éloignée du milieu dans toutes les directions. C'est ce que signifie être un cercle.

Nous avons donc prouvé que deux choses sont incompatibles l'une avec l'autre : vous ne pouvez pas être à la fois un cercle et avoir des moitiés dépareillées. Parce que si vous avez des moitiés dépareillées, vous avez également des "rayons inégaux" et cela signifie que vous n'êtes pas un cercle.

Un cercle doit donc avoir des moitiés égales. Bam. Théorème. C'est un résultat ennuyeux mais une preuve magnifique. Ou une preuve suggestive. C'est une preuve qui laisse entrevoir un nouveau monde.

Thales a dû se sentir comme un sorcier qui vient de découvrir qu'il avait des super-pouvoirs. « Woah, tu peux faire ça ? » Par un raisonnement pur, en tirant les conséquences d'une définition, on peut prouver sans l'ombre d'un doute que certaines affirmations ne pourraient pas être fausses ? C'est une chose? C'est quelque chose que l'on peut faire ? Wow. Faisons ça à tout ! Droit?

C'est ainsi que Thales a découvert la preuve. Du mieux que l'on puisse deviner.

Quelques autres théorèmes sont également attribués à Thales. Je veux en évoquer un en particulier qui, je pense, est aussi une sorte d'archétype de ce que sont les mathématiques.

Le théorème que nous venons de voir, à propos du diamètre coupant le cercle en deux, incarne parfaitement un mode prototypique de raisonnement mathématique. Le paradigme des mathématiques pures, pourrait-on l'appeler. Conséquences logiques des définitions, preuves par contradiction. Ce genre de chose. La preuve de Thales fait vraiment mouche avec toute cette esthétique. Depuis, nous faisons toujours la même chose. Un cours moderne de théorie des groupes, par exemple, n'est que l'idée de preuve de Thales appliquée cinq cents fois, en gros.

Maintenant, je veux prendre un autre des résultats attribués à Thales, et je veux faire valoir qu'il est emblématique d'un autre mode de pensée mathématique. C'est un deuxième chemin vers la preuve. Cette seconde voie est davantage basée sur le jeu, l'exploration, la découverte, plutôt que sur la logique et les définitions.

L'exemple que je veux utiliser pour faire valoir ce point est ce qui est en effet souvent appelé simplement « théorème de Thales ». Ce qui stipule que tout triangle élevé sur le diamètre d'un cercle a un angle droit. Donc, en d'autres termes, imaginez un cercle. Coupez-le en deux avec un diamètre. Maintenant, élevez un triangle, en utilisant ce diamètre comme l'un de ses côtés, et le troisième sommet du triangle se trouve quelque part sur le cercle. Cela ressemble donc à une sorte de tente, dépassant du diamètre. Et il pourrait s'agir d'une tente asymétrique qui pointe davantage d'un côté ou de l'autre. Peu importe comment vous montez cette tente, tant que la pointe de celle-ci est n'importe quel point du cercle, alors l'angle entre les deux parois de la tente à ce point, à la pointe, sera un angle droit, 90 degrés . C'est le théorème de Thales.

Comment Thales aurait-il pu prouver ce théorème ? Nous ne le savons pas vraiment sur la base de preuves historiques, malheureusement. Mais considérons une hypothèse qui a du sens contextuellement.

Il faut imaginer que Thales serait tombé sur la preuve d'une manière ou d'une autre. Nous n'essayons pas d'expliquer comment quelqu'un pourrait penser à une preuve de ce théorème en soi. C'est une mauvaise perspective parce qu'il va de soi qu'en mathématiques on essaie de prouver des choses. Ce que nous devons expliquer, c'est d'où vient cette vision de tout prouver en géométrie. Comment quelqu'un aurait-il pu tomber sur le théorème de Thales sans le vouloir, pour ainsi dire, et par cet accident prendre conscience de l'idée de géométrie déductive ?

En effet, le théorème de Thales n'est pas très intéressant ou important en soi. Si vous aviez cette vision de soumettre toute la géométrie à des preuves systématiques, pourquoi voudriez-vous commencer par ce théorème, ou faire de ce théorème une pièce centrale, comme Thales l'a supposément fait ? Vous ne le feriez pas.

La chose intéressante à propos du théorème de Thales n'est pas qu'il a été l'un des premiers résultats auxquels les mathématiciens ont appliqué la preuve déductive. Au contraire, ce qui est intéressant, c'est que c'était l'occasion pour les mathématiciens de trébucher sur l'idée même de preuve elle-même, sans le vouloir.

Il y a une histoire à propos de Thales tombant dans un puits parce qu'il s'est tellement pris dans le raisonnement astronomique qu'il a oublié son environnement. C'est écrit dans Platon : « Alors qu'il étudiait les étoiles et regardait vers le haut, il tomba dans une fosse. Parce qu'il était si désireux de connaître les choses dans le ciel, il ne pouvait pas voir ce qui était devant lui à ses pieds.

Une légende peut-être, mais la découverte du théorème de Thales a dû être un peu comme ça aussi. Découvrir la preuve mathématique a dû être comme tomber dans une fosse. Vous regardez dans une direction, et boum, vous vous retrouvez soudainement en train de vous écraser la tête la première dans cette nouvelle chose sans aucun rapport dont vous ne saviez pas qu'elle existait.

Comment le théorème de Thales pourrait-il être ainsi ? Parmi tous les théorèmes du monde, qu'est-ce qui rend le théorème de Thales particulièrement propice à ce genre de découverte fortuite de la preuve ?

Voici mon hypothèse. À l'ère de l'innocence, avant que quiconque ne sache quoi que ce soit sur la preuve, les gens aimaient toujours les formes. La règle avait et la boussole. Ils utilisaient ces outils pour mesurer les champs et ainsi de suite, mais ils en aimaient aussi l'esthétique.

Ils jouaient avec la règle et la boussole. Jouer avec les formes. Après cinq minutes de jeu avec une boussole, vous découvrez comment dessiner un hexagone régulier. Rappelles toi? Vous avez probablement fait ça quand vous étiez enfant. Tracez un cercle, puis, sans changer l'ouverture de la boussole, passez la boussole le long de la circonférence. Il correspond exactement six fois. Une forme très agréable.

Nous savons pertinemment que les gens l'ont fait avant Thales. Il existe des motifs de pavage hexagonaux dans les mosaïques mésopotamiennes dès -700 environ.

Les dodécaèdres sont une autre de ces choses. Le dodécaèdre est comme ces dés à douze faces que vous utilisez dans Donjons et Dragons et des trucs comme ça. Do-déca-èdre, c'est littéralement : deux-dix-faces. Donc douze côtés, en d'autres termes. Douze faces, dont chacune est un pentagone régulier. Ces choses sont dans les archives archéologiques. Les gens les faisaient de pierre et de bronze. Une vingtaine de dodécaèdres de l'Antiquité ont été retrouvés, les plus anciens étant même antérieurs à Thalès. Ils étaient peut-être utilisés à des fins oraculaires, comme des cartes de tarot ou quelque chose du genre. Ou peut-être pour les jeux de société, qui sait ?

En tout cas, ce que je veux dire, c'est que les gens s'intéressaient aux dessins géométriques à des fins diverses : artistiques, culturelles, etc. Pas seulement mesurer les champs à des fins fiscales. Et ils travaillaient clairement avec des instruments tels qu'une règle et une boussole pour fabriquer ces choses.

Il est facile d'arriver au théorème de Thales en jouant simplement avec la règle et la boussole, en essayant de dessiner de jolies choses. Commencez par un rectangle. Dessinez ses diagonales. Mettez l'aiguille d'une boussole là où ils se croisent, en plein milieu du rectangle. Placez le stylo de la boussole sur l'un des coins du rectangle. Maintenant, fais-le tourner. Vous obtenez un cercle qui s'adapte parfaitement, confortablement, autour du rectangle.

Mais regardez ce qui est ressorti. Une diagonale du rectangle devient un diamètre du cercle. Et les morceaux de rectangle qui en dépassent sont précisément ce genre de triangles de "tente" dont parle le théorème de Thales. Cela rend soudain le théorème évident.

Pourquoi le théorème de Thales est-il vrai ? Pourquoi l'une de ces « tentes » dressées sur le diamètre d'un cercle a-t-elle un angle droit ? C'est parce qu'il vient d'un rectangle. Une telle tente est un demi-rectangle. C'est un puissant changement de perspective. En regardant le triangle de cette façon, nous révélons des relations cachées, un ordre caché dans la nature des choses. Certains angles doivent toujours être des angles droits par une sorte de nécessité métaphysique, pour ainsi dire. Nos yeux se sont ouverts, peut-être pour la première fois, à l'existence de ce genre de nécessités, de ce genre de relations cachées que la personne réfléchie doit découvrir.

La clé est donc ce changement de perspective que le triangle est « vraiment » un demi-rectangle. Supposons plutôt que nous ayons été coincés dans le point de vue, c'est que nous regardions un triangle inscrit dans un cercle. Alors les sortes d'associations et d'idées qui s'offrent à nous ne sont pas si utiles pour prouver ce théorème. De ce point de vue, si vous cherchiez une preuve, que feriez-vous ? Peut-être que vous connecteriez par exemple le milieu du cercle à la pointe du triangle. Alors maintenant, vous avez deux triangles plus petits. Que vas-tu faire avec ceux-là ? Quelque chose avec des sommes d'angle et ainsi de suite ? Ou peut-être seriez-vous tenté de laisser tomber la perpendiculaire à la place de la pointe du triangle, puis vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore des deux petits triangles que vous obtenez.

Ce genre de choses n'est pas ce que nous voulons. Ce genre d'approches devient vite trop technique. C'était censé être les débuts de la géométrie, rappelez-vous. Vous n'êtes pas censé utiliser un tas de résultats précédents pour la preuve. Ce devrait être une preuve des premiers principes. Une preuve avant toutes les autres preuves.

L'idée que le triangle est « vraiment » un demi-rectangle est différente. Il transforme la façon dont nous regardons le diagramme. Cela change l'accent. Cela change ce que nous considérons comme primaire. Maintenant, le rectangle vient en premier, le triangle en second et le cercle en dernier. Le théorème ne concerne en fait pas tant les cercles, pour ainsi dire, de ce point de vue. Le cercle n'est qu'une sorte d'artefact secondaire.

Avec cette preuve, nous sommes comme des artistes. Nous prenons du recul par rapport à la toile et inclinons la tête et avons cette épiphanie. Et l'épiphanie a été rendue possible par la façon dont nous avions joué avec ces idées auparavant. Nous ne faisions que jouer avec la règle et la boussole, nous explorions les triangles, les rectangles et les cercles avec une affection ouverte d'esprit. Des épiphanies comme le théorème de Thales émergent de cette pièce. L'inspiration vient naturellement dans ce contexte.

Contrairement à ces autres preuves ennuyeuses auxquelles j'ai fait allusion, qui étaient basées sur le découpage du triangle et le lancement du livre dessus : les sommes d'angles, le théorème de Pythagore, tout ce à quoi nous pouvons penser. C'est une approche sans inspiration, une approche de force brute. Il lui manque cette inspiration esthétique, cette épiphanie de révéler la vraie nature du triangle, et son autre moitié avec laquelle il était destiné à être réuni.

La géométrie n'aurait pas pu commencer avec ce genre d'épreuves standard, car elles n'ont de sens qu'après qu'il y ait un livre de géométrie pour commencer. Mais la géométrie aurait pu commencer avec le type de preuve épiphanie. C'est donc ainsi que quelqu'un comme Thales aurait pu arriver à l'idée de la preuve en jouant avec la règle et la boussole.

Peut-être connaissez-vous "Lockhart's Lament": un excellent essai sur ce qui ne va pas dans l'enseignement des mathématiques. Allez le lire, il est disponible en ligne. Il est intéressant que Lockhart utilise cet exemple même pour faire valoir son point de vue. Il décrit comment ses étudiants ont découvert le théorème de Thales essentiellement de la façon dont je dis que Thales aurait pu le faire. Il capture également avec éloquence à quel point c'est tellement plus satisfaisant qu'une épreuve sèche à la lettre.

Ce n'est pas pour rien que l'histoire et l'éducation vont de pair sur ce point. La preuve doit avoir commencé par une expérience esthétique convaincante ou un moment wow. Il n'y avait pas d'autre moyen à l'époque. Il n'y avait personne pour forcer Thales à mémoriser des faits pour un examen. La découverte l'obligea à valoriser les mathématiques. Si nous voulons favoriser la motivation intrinsèque de nos étudiants, c'est une bonne idée de considérer ce qui a poussé les gens à tomber amoureux de ces idées en premier lieu. Le premier amour est toujours le plus pur et le plus innocent. Les manuels modernes sont comme des mariages arrangés imposés aux étudiants. Mais l'histoire a toujours la vraie histoire d'amour.

Néanmoins, pour tout cela, vous pourriez toujours penser que le théorème de Thales est un peu ennuyeux. Quelque chose quelque chose est toujours un angle droit. Et alors? On s'en fout?

Comme j'ai essayé de l'argumenter, ce n'était probablement pas le théorème en soi qui impressionnait Thales et ses contemporains, mais plutôt l'idée qu'il existe des théorèmes et des preuves. Il existe des vérités cachées qui peuvent être découvertes par le raisonnement. Remarquable.

Mais en fait, même le théorème lui-même est assez intéressant. Laissez-moi vous montrer quelque chose de cool que vous pouvez faire avec le théorème de Thales.

Il existe une ancienne légende sur la reine Didon. Fille du roi de Tyr, une ville importante dans l'antiquité. Vous pouvez encore voir les ruines de cette ville antique dans le Liban actuel. À un certain moment, Didon a dû fuir, à cause d'intrigues de cour. Meurtres et trahisons et ainsi de suite. Alors elle attrape quelques diadèmes sur sa table de chevet, peut-être un coffre en or qu'elle a mis de côté pour un jour de pluie, et s'enfuit à la hâte dans la nuit. Avec à peine un ami dans le monde.

Elle doit aller jusqu'à la Tunisie actuelle, à des milliers de kilomètres de là, et essayer de recommencer d'une manière qui sied à un royal. À l'aide de son coffre au trésor, elle conclut une bonne affaire pour acheter un terrain. Autant de terres qu'elle peut enfermer avec la peau d'un bœuf, raconte l'histoire. Alors elle coupe la peau de bœuf en fines lanières et les attache ensemble, et maintenant ? Alors maintenant, elle a cette longue ficelle, qu'elle peut utiliser comme une sorte de clôture pour sceller la terre qu'elle veut.

Mais quelle forme pour le faire ? Un carré, un rectangle, un triangle ? Non. Didon sait mieux. Peut-être que son éducation royale comprenait les mathématiques. Faites le tour. C'est le meilleur moyen. Le cercle a l'aire maximale parmi toutes les figures avec un périmètre donné. Ou dans ce cas, puisqu'elle était au bord de l'océan : un demi-cercle, avec le rivage comme limite naturelle de l'autre côté.

Prouvons cela. Que le demi-cercle est le meilleur choix. Je vais le prouver par contradiction : supposons que quelqu'un ait clôturé dans une zone qui n'est pas semi-circulaire, je peux alors montrer comment l'améliorer : comment déplacer la clôture pour que la zone devienne encore plus grande, sans en ajouter de plus clôture.

Ok, donc vous avez le rivage, c'est une ligne droite. Et à partir d'un point sur le rivage, en entrant dans les terres, vous avez cette clôture qui redescend ensuite et rejoint le rivage à un autre endroit. Ainsi, avec le rivage, il ferme une certaine zone.

Supposons que cette forme ne soit pas un demi-cercle. S'il s'agissait d'un demi-cercle, le théorème de Thales s'appliquerait. Et cela vous dirait que cet angle, ce que j'ai appelé l'angle de la tente, à n'importe quel point le long de la clôture serait un angle droit. Donc, si la forme n'est pas un demi-cercle, il doit y avoir un point le long de la clôture où cet angle n'est pas un angle droit.

Je dis que faire de cet angle un angle droit améliore la surface couverte. Vous pouvez l'imaginer comme ça. Vous avez donc cette forme entourée par la clôture : imaginez que vous ayez cette découpe dans du carton. Et sur le périmètre, vous avez un point marqué où l'angle de la tente n'est pas un ange droit. Donc, sur votre carton, vous avez dessiné ce triangle : un triangle composé du rivage rectiligne d'un côté et des deux lignes partant de ses extrémités qui se rejoignent au point de la tente sur le périmètre.

Découpons ce triangle dans le carton. Il vous reste donc deux morceaux : les morceaux qui dépassaient des côtés du triangle. Déplacez maintenant ces deux pièces pour que l'angle de la tente soit un angle droit. Cela signifie déplacer les extrémités le long du rivage. Lorsque vous déplacez les deux points sur le rivage, vous modifiez l'angle auquel les deux morceaux de carton se rencontrent. Les deux morceaux de carton se rencontrent en un seul point, le point de la tente, et c'est comme une charnière qui peut s'ouvrir ou se fermer à un angle plus grand ou plus petit. Donc, vous faites glisser ces choses jusqu'à ce que cet angle de charnière devienne 90 degrés.

Notez que vous n'avez pas modifié le périmètre de cette façon. Vous venez de déplacer la même quantité de clôture.

Mais vous avez en fait augmenté la zone fermée. Parce que si vous avez deux bâtons de longueur fixe et que vous voulez faire le plus grand triangle possible avec ces bâtons, le meilleur moyen est de faire de l'angle entre eux un angle droit. C'est assez clair intuitivement. Vous savez que l'aire d'un triangle est la base multipliée par la hauteur sur deux. Donc si l'un de vos bâtons est la base, alors pour maximiser la zone dont vous voulez maximiser la hauteur, c'est-à-dire la hauteur perpendiculaire en montant depuis la base, ce qui se fait évidemment en pointant l'autre bâton tout droit vers le haut à angle droit.

Donc, ce que cela prouve, c'est que, pour toute clôture de clôture qui n'est pas un demi-cercle, vous pouvez en faire une meilleure. Vous pouvez déplacer la clôture et agrandir la zone. Le demi-cercle est donc la meilleure solution, et tous les autres sont moins bons.

Je ne sais pas si vous pouvez visualiser tout cela. Mais essayez peut-être de reconstruire cet argument pour vous-même plus tard. C'est vraiment très intuitif et beau.

Alors, quelle est la morale de l'histoire ? Mathématiquement, c'est une réponse au « et alors ? » question sur le théorème de Thales. Cela a peut-être semblé être un théorème assez ennuyeux, mais nous le voyons ici en action d'une manière magnifique et inattendue, comme un ingrédient clé de cette preuve sur la façon de clôturer la terre. Qui aurait vu ça venir ?

Cela suggère que les mathématiques ont une sorte d'aspect boule de neige ou d'auto-fertilisation. Le théorème de Thales, quel est le problème ? Juste une observation ennuyeuse sur un triangle dans un cercle. Peut ne pas sembler beaucoup. Mais une chose en amène une autre. Une fois que le théorème de Thales est une chose pour vous, vous commencez à le voir dans d'autres endroits, des endroits inattendus. Comme ce problème de zone. Vous ne penseriez pas que c'était lié, mais plus vous faites de mathématiques, plus vous trouvez de connexions.

Choisissez n'importe quel théorème, aussi ennuyeux soit-il, comme le théorème de Thales, et vous pouvez trouver ces choses étonnantes où le théorème ennuyeux est en fait un aperçu clé qui ouvre de toutes nouvelles façons de penser à des problèmes apparemment sans rapport. Ce sont les mathématiques pour vous. Pas étonnant que cela se soit propagé comme un insecte chez les Grecs, une fois qu'ils ont lancé le bal. Un moment, vous tombez sur un résultat aléatoire comme le théorème de Thales, et la prochaine chose que vous savez, vous voyez des mathématiques partout.

Voilà donc la morale mathématique de l'histoire. Maintenant, nous devons revenir en arrière et dire quelque chose sur le côté historique de tout cela. Que sait-on vraiment de Thales et de ses théorèmes et de la reine Didon et tout ça ? Quelle est l'histoire et combien est la légende?

Si nous commençons par Didon, cette histoire est principalement utilisée par Virgile. L'Énéide, le célèbre poème épique. Cela a été écrit à l'époque romaine, vers l'an -20. Mais cela fait référence à des événements historiques, ou prétendument historiques, qui ont eu lieu même avant Thales, peut-être deux siècles avant Thales, donc -800-ish. Nous avons la version de Virgil, c'est ce qui nous est parvenu, mais il ne fait que voler une histoire plus ancienne. Ces choses auraient existé depuis des siècles dans la culture grecque, dans divers récits littéraires et historiques qui sont maintenant perdus.

Il est parfaitement plausible qu'il y ait vraiment eu une telle reine historique, qui a vraiment fui sa maison royale à Tyr, et a vraiment débarqué sur les rives nord de l'Afrique où elle a fondé cette nouvelle colonie, qui allait devenir la grande ville de Carthage. Peut-être en effet a-t-elle même fait les murs de la ville en demi-cercle, qui sait ? Il est parfaitement concevable qu'elle ait pu vouloir minimiser le périmètre pour une raison quelconque, et qu'elle ait pu savoir qu'une forme semi-circulaire était optimale à cet effet.

Mais à cette époque, il n'y aurait pas eu de preuves mathématiques de cela, comme celle que j'ai esquissée ci-dessus. La preuve que j'ai esquissée est de Jakob Steiner, au début du 19ème siècle. De l'époque grecque, nous avons une preuve différente de ce résultat. Ils étaient donc certainement très conscients du résultat, que le demi-cercle est optimal, si ce n'est peut-être la preuve particulière que j'ai suggérée.

Si l'histoire de la reine Didon dit quelque chose sur l'histoire des mathématiques, elle n'éclaire probablement le plus ni le moment où les événements ont eu lieu, vers -800, ni le moment où les sources dont nous disposons ont été écrites, vers l'an 0. quelque chose sur les siècles entre les deux, où l'histoire aurait été transmise et retravaillée.

L'histoire a été marinée, pour ainsi dire, dans la culture grecque. C'est peut-être eux qui lui ont donné une saveur mathématique. La chaussure convient : les Grecs appréciaient les dirigeants sages, aristocratiques et bien éduqués, qui conçoivent une politique rationnelle pour le bien commun informée par la raison et les mathématiques. Peut-être qu'ils ont laissé ces idéaux colorer la façon dont ils ont raconté l'histoire de la reine Didon et de sa ville ronde.

De ce point de vue, nous pourrions également supposer qu'au moment où Virgile revient et écrit la version romaine de l'histoire, cette appréciation des mathématiques n'est plus ce qu'elle était autrefois. En effet, Virgil n'explique pas vraiment l'aspect d'optimisation mathématique de l'histoire. Dido n'est qu'un personnage secondaire. Son épopée parle d'Énée, qui est dans une quête qui finira par conduire à la fondation de Rome.

Enée fait naufrage et s'échoue à Carthage, la ville ronde de Didon. Dido tombe amoureuse de lui, mais il ne lui rend pas son amour. Il s'éloigne et Dido se tue à cause de son cœur brisé. Morris Kline conclut l'histoire : « Et donc un homme ingrat et peu réceptif avec un esprit rigide a causé la perte d'un mathématicien potentiel. Ce fut le premier coup porté aux mathématiques par les Romains. Bien sûr, il y en a beaucoup plus d'où cela vient.

On peut considérer cette histoire comme symbolique de cette transition des sages rois philosophes (ou reines dans ce cas) du monde grec, qui chérissaient les mathématiques et les utilisaient pour améliorer le monde. La transition de cela au Romain sans cœur, qui ne pense qu'à lui-même et se moque bien du théorème de Thalès. Dans le monde grec, les nerds mathématiques étaient considérés comme attrayants, mais d'une manière ou d'une autre, ces Romains ignorants ne pensaient pas du tout qu'une reine géomètre était un matériau de petite amie.

Ok, donc l'histoire de Didon et de la ville ronde et la preuve d'optimisation et tout ça, c'est très intéressant en termes de points mathématiques et culturels plus larges auxquels il se connecte, mais en soi ce n'est pas directement de l'histoire en soi.

C'est différent avec Thales. C'est plus un fait qu'une légende. Pour autant que nous puissions le déterminer, Thales a vraiment prouvé que le diamètre divise un cercle, très probablement avec la preuve discutée ci-dessus.

Les sources dont nous disposons pour cela sont loin d'être parfaites. Principalement Proclus, qui écrivait en l'an 450 environ, en gros mille ans après la vie de Thalès. Ces types de sources tardives sont aléatoires. Ils n'ont aucune autorité en eux-mêmes. Proclus n'était personne. Sa propre compréhension de l'histoire et des mathématiques est très pauvre. Un penseur médiocre, un érudit médiocre, vivant à une époque médiocre.

C'est le genre de sources que nous avons. Fondamentalement aussi autoritaire qu'un factoid que vous lisez au dos d'une boîte de céréales ou quelque chose.

Mais il y a de l'espoir. À l'époque de sa gloire, la Grèce n'était qu'une culture intellectuelle exceptionnelle. Et certaines choses sur Thales, par exemple, remontent à cette époque, ce qui le rend très crédible. L'élève d'Aristote, Eudème, a écrit une histoire de la géométrie. Ce n'est plus avec nous hélas. Les âges ignorants l'ont négligé et maintenant c'est parti. Mais quel travail cela aurait été.

Ces gens savaient ce qu'ils faisaient. Plus tard, des gens comme Proclus sont comme des rando en ligne qui publient des idées à moitié cuites sur blogspot ou des commentaires mal informés sur Facebook. C'est à quel point ils sont crédibles.

Mais des gens comme Eudemus est une histoire très différente. Cela ressemble plus à un universitaire de premier ordre dans une institution de recherche avec toutes les infrastructures dont on peut rêver : des bibliothèques, des collègues extrêmement compétents et intelligents avec une gamme d'expertises, un large soutien financier et culturel du public et des politiciens, etc. . L'Histoire de la géométrie d'Eudemus serait un véritable livre de la "Presse universitaire", revu par les pairs jusqu'aux dents et avec une belle jaquette d'Aristote.

Des gens comme Eudemus n'étaient pas là pour faire passer des potins au hasard et des faits incontrôlés parce qu'ils ont l'air cool. Ils étaient de véritables savants et intellectuels.

Et en effet, beaucoup de choses sur Thales remontent à cette source perdue. Quand Proclus dit que Thalès a été le premier à prouver qu'un cercle est coupé en deux par son diamètre, la source en est Eudème. C'est donc très crédible. Ce truc de Thales est vraiment arrivé. En fait, la partie sur le diamètre qui coupe le cercle est plus sûre que la partie sur le théorème de Thales. Le théorème de Thales était-il vraiment celui de Thales ? Peut-être. Mais nous ne pouvons pas retracer cette partie spécifiquement jusqu'aux meilleures sources. Contrairement à la bissection du diamètre un et à quelques autres détails. Mais contextuellement, cela a du sens.

Les histoires de Thalès et l'origine de la géométrie étaient évidemment bien connues non seulement des érudits spécialisés mais du grand public athénien. Aristophane le dramaturge utilise le nom de Thalès comme symbole de la géométrie à quelques reprises dans ses pièces. Tout comme aujourd'hui on pourrait utiliser le nom d'Einstein par exemple pour évoquer l'image d'un scientifique. Aristophane fait dire à l'un des orateurs d'un dialogue : « L'homme est un Thalès. Cela signifie que la personne est un géomètre. De toute évidence, on pouvait s'attendre à ce que le public du théâtre de l'Athènes classique comprenne cette référence. Toute personne instruite connaîtrait Thales et les origines de la géométrie.

En fait, le respect du public pour la géométrie et son histoire était apparemment si grand qu'Aristophane fait même déplorer un de ses personnages comme excessif en disant : « Pourquoi continuons-nous à admirer le vieux Thalès ? Quel temps pour être en vie cela aurait été. Lorsque les dramaturges ont dû s'attaquer à des problèmes tels que le respect et l'intérêt pour les mathématiques du grand public. "Hé les gars, peut-être que nous devons le refroidir avec combien nous aimons la géométrie." Quel problème de luxe. À peine celui avec lequel les superproductions hollywoodiennes doivent s'attaquer aujourd'hui.

Quoi qu'il en soit, nous ne devrions peut-être pas trop lire ces citations isolées. Mais la crédibilité intellectuelle générale de cet âge est importante. Ces personnes très intelligentes et sérieuses ont enregistré dans les histoires savantes les récits de Thalès fondant la géométrie déductive et prouvant qu'un cercle est coupé en deux par son diamètre. C'est seulement deux ou trois cents ans après Thales, et dans une lignée directe de lui, probablement avec des œuvres entières de Thales toujours dans les bibliothèques et ainsi de suite.

Alors voilà. Les origines de la preuve et de la géométrie déductive. Nous en savons vraiment beaucoup à ce sujet, et c'est une histoire qui vaut la peine d'être connue si vous me le demandez.


Preuve du théorème de proportionnalité de base

Essayons maintenant de prouver l'énoncé du théorème de proportionnalité de base (BPT).

Déclaration: The line drawn parallel to one side of a triangle and cutting the other two sides divides the other two sides in equal proportion.

Given: Consider a triangle ΔABC, as shown in the given figure. In this triangle, we draw a line DE parallel to the side BC of ΔABC and intersecting the sides AB and AC at D and E, respectively.

Construction: In the above diagram, create imaginary lines where you can Join C to D and B to E. Draw perpendicular DP perpendicular to AE and EQ perpendicular to AD.

Consider the triangles ADE and BDE. Both these triangles are on the same base AB and have equal height EQ.

(Area of ADE)/(Area of BDE) = (1/2 × AD × EQ)/(1/2 × BD × EQ)

(Area of ADE)/(Area of BDE) = AD/BD

Now consider triangles CDE and ADE. Both these triangles are on the same base AC and have equal height DP.

(Area of ADE)/(Area of CDE) = (1/2 × AE × DP)/(1/2 × CE × DP)

(Area of ADE)/(Area of CDE) = AE/CE

Both the triangles BDE and CDE are between the same set of parallel lines.

Area of triangle BDE = Area of triangle CDE

Applying this we have, (Area of triangle ADE)/(Area of triangle BDE) = (Area of triangle ADE)/(Area of triangle CDE)

The above proof is also helpful to prove another important theorem called the mid-point theorem. The mid-point theorem states that a line segment drawn parallel to one side of a triangle and half of that side divides the other two sides at the midpoints.

Hence we prove the Basic Proportionality Theorem. Therefore, the line DE drawn parallel to the side BC of triangle ABC divides the other two sides AB, AC in equal proportion. Also, the converse of the mid-point theorem is also stands true. It states that the line drawn through the mid-point of a side of a triangle that is parallel to another side bisects the third side of the triangle.


Converser

For any triangle whatsoever, there is exactly one circle containing all three vertices of the triangle. (Sketch of proof. The locus of points equidistant from two given points is a straight line that is called the perpendicular bisector of the line segment connecting the points. The perpendicular bisectors of any two sides of a triangle intersect in exactly one point. This point must be equidistant from the vertices of the triangle.) This circle is called the circumcircle of the triangle.

One way of formulating Thales' theorem is: if the center of a triangle's circumcircle lies on the triangle then the triangle is right, and the center of its circumcircle lies on its hypotenuse.

The converse of Thales' theorem is then: the center of the circumcircle of a right triangle lies on its hypotenuse. (Equivalently, a right triangle's hypotenuse is a diameter of its circumcircle.)

This converse is also true.

Proof of the converse using geometry

This proof consists of 'completing' the right triangle to form a rectangle and noticing that the center of that rectangle is equidistant from the vertices and so is the center of the circumscribing circle of the original triangle, it utilizes two facts:

  • adjacent angles in a parallelogram are supplementary (add to 180°) and,
  • the diagonals of a rectangle are equal and cross each other in their median point.

Let there be a right angle ∠ABC, r a line parallel to BC passing by A and s a line parallel to AB passing by C. Let D be the point of intersection of lines r and s (Note that it has not been proven that D lies on the circle)

The quadrilateral ABCD forms a parallelogram by construction (as opposite sides are parallel). Since in a parallelogram adjacent angles are supplementary (add to 180°) and ∠ABC is a right angle (90°) then angles ∠BAD, ∠BCD, and ∠ADC are also right (90°) consequently ABCD is a rectangle.

Let O be the point of intersection of the diagonals AC and BD . Then the point O, by the second fact above, is equidistant from A,B, and C. And so O is center of the circumscribing circle, and the hypotenuse of the triangle ( AC ) is a diameter of the circle.

Alternate proof of the converse using geometry

Given a right triangle ABC with hypotenuse AC, construct a circle C whose diameter is AC. Let O be the center of C. Let D be the intersection of C and the ray OB. By Thales' theorem, ∠ADC is right. But then D must equal B. (If D lies inside ABC, ∠ADC would be obtuse, and if D lies outside ABC, ∠ADC would be acute.)

Proof of the converse using linear algebra

This proof utilizes two facts:

  • two lines form a right angle if and only if the dot product of their directional vectors is zero, and
  • the square of the length of a vector is given by the dot product of the vector with itself.

Let there be a right angle ∠ABC and circle M with AC as a diameter. Let M's center lie on the origin, for easier calculation. Then we know

  • A = − C, because the circle centered at the origin has AC as diameter, and
  • (A − B) · (B − C) = 0, because ∠ABC is a right angle.

0 = (A − B) · (B − C) = (A − B) · (B + A) = |A| 2 − |B| 2 .

Cela signifie que UNE et B are equidistant from the origin, i.e. from the center of M. Depuis UNE lies on M, so does B, and the circle M is therefore the triangle's circumcircle.

The above calculations in fact establish that both directions of Thales' theorem are valid in any inner product space.


The Origins of Ancient Greek Mathematics

Thales of Miletus (Public Domain)

The Greeks took a lot of their methodology and techniques from the Babylonians and Egyptians, as even Plato was happy to admit, but the Greeks were the first to move math into the realm of theory, reasoning and deduction rather than measurement. The Egyptians tended to use mathematics for practical purposes and used brute force to solve problems for example, they were not bothered about finding an exact number for Pi and, as long as it served their purposes, an approximate value sufficed. The Babylonians looked at the relationships behind numbers a little more than the Egyptians, but even their slightly more abstract work was largely empirical in nature.

The Greeks changed this by looking for underlying rules and relationships governing numbers and functions. They believed that, because the universe was perfect, they could use deductive reasoning to establish mathematical facts, without the impurity of inaccurate empirical measurements. This shift in focus fueled the great advances they made in geometry, algebra and calculus, and mathematical reasoning even became the basis of logical arguments.


How Thales of Miletus Changed the World

There’s no wonder that Thales of Miletus has been named the first of the Seven Sages of Greece. Throughout his life, he managed to impose a scientific way of thinking in many areas, from mathematics to philosophy. An undisputed scholar, he lived between from 624 to 546 B.C., and made a colossal contribution to mankind’s knowledge. In many ways, you could say that Thales changed the world, but what makes him widely popular are usually the theorems which revolutionized math.

Philosophical ideas

Most of what we know today of Thales’ philosophy comes from Aristotle. Some believe that Thales left no writings whatsoever, but that’s still a matter of debate. Som think he wrote two works: ‘On the Solstice’ et ‘On the Equinox’, but neither of them still exists today.

The very first pre-Socratic philosopher, Thales’ main preoccupation was to define the substance(s) which form the world around us. For this reason, many call him the world’s first scientist. He was among the first to attempt a naturalistic explanations to material phenomena, using a scientific method which doesn’t resort to mystical or mythological explanations.

Thales also had vocal religious views: he believed in one single transcendental God, without a beginning or an end, who expresses itself through other gods. The philosopher’s idea of justice revolved around both the letter of the law and the spirit of the law – both justice and fairness were important to him. His idea of happiness included three major directions: a healthy body, a resourceful soul and a teachable nature.

Among his core ideas, one was especially important. It may seem like common sense today, but it was highly controversial during his life time: the idea that we should expect the same support from our children as we give to our parents.

However, Thales is chiefly known for his achievements in science and math. While meditating on the effects of magnetism and static electricity, he believed that the very power to move things without the mover itself changing was a characteristic of life in other words, a magnet is also alive, in some way. If so, he believed, there would be no difference whatsoever between the living and the dead – if all things were alive, then these were supposed to have souls or divinities. The conclusion of this argument implied an almost complete removal of mind from substance, which, for the first time, opened the door to a non-divine principle of action. This is an idea philosophers are still working around to this day.

Mathematics

Thales is considered to be one of the most brilliant mathematicians in history. Today, we explicitly attribute five theorems to Thales, and he successfully applied two of them to the solution of practical problems.

  • Definition:The circle is bisected by its diameter.
  • Proposition: In isosceles triangles the angles at the base equal one another, and, if the equal straight lines are produced further, then the angles under the base equal one another.
  • Proposition: The vertical and opposite angles are equal.
  • Proposition: Equality of triangles (by two angles and a side)
  • Proposition: The angle in a semi-circle is right angle.

Theories about Earth

Thales’ cosmological dictum claims water is the basic element (the primary principle) in everything. The idea that the entire world derives from water is an example of material monism (roughly similar to Anaximenes’ later idea that everything in the world is composed from air). According to Aristotle, the method by which Thales explained his theory was analyzing the biological principles. In the biological world, there were three things Thales turned to:

  1. all life depends on water – remove the water from a plant and it dies deprive animals water and they dies
  2. all seeds are themselves nothing but moisture
  3. heat (in the form of sun and moon) is generated out of moisture and kept alive by it.

This last idea was based on the relationship between the heavenly bodies and the oceans.

Earth floating on water via philipkay.wordpress.com

Thales believed that water was the origin of all things, the substance from which everything emerges and to which all things will return moreover, he believed that things sommes ultimately water. Aristotle explains in ‘De Caelo’ that ‘[t]his [belief is the most ancient explanation which has come down to us, and is attributed to Thales of Miletus’.

It is believed that Thales was the first one to claim that Earth has a spherical form, although there is no testimony to support this. In his work, Aristotle mentioned some of Thales’ ideas, but somehow he missed this one, so there is no actual proof of this geographic philosophy.

What we know of this theory is that, first of all, it’s very consistent with the hypothesis that Earth floats on water. This principle was applied to explain the nature of earthquakes, too. Seneca attributed to Thales the following theory: on the occasions when the earth experiences an earthquake, it is actually fluctuating because of the roughness of oceans. This explanation, albeit wrong, is the first one to explain a natural phenomenon without invoking any supernatural or mystical entities.

Astronomy

Thales is also believed to anticipated an eclipse of the sun – the one which occurred on 28th of May 585 B.C, according to Herodotus. Eudemus also mentioned Thales as being the first to discover the ‘eclipse of the sun and that its period with respect to the solstices is not always constant’.

Diogenes Laertius mentioned that Thales ‘was the first to determine the sun’s course from solstice to solstice’, and also acknowledged the Astronomy of Eudemus as his source. It’s unknown how Thales got to the conclusion of solstices as a recurrent phenomenon, but Flavius Philostratus writes that: ‘[t]hales observed the heavenly bodies from Mount Mycale, which was close to his home’.

Diogenes Laertius has written that ‘He (Thales) is said to have discovered the seasons of the year and divided it into 365 days’. The explanation for this is purely reasonable. Because of the determination of solstices and equinoxes, it’s only fair to presume that Thales could have also known the length of a solar year. Of course, it’s far-fetched to say that he discovered the seasons per se, given that the Egyptians have known about them for millenniums. But thanks to his understanding of the solar year, he may have related the information, thus being the first one to scientifically explain the seasons as we know them.


Height of the Pyramid of Egypt

Thales of Miletus is remembered for its famous theorem and perhaps one of the most remembered applications was to find in its time the height of the pyramid of Egypt, in a very ingenious way.

How’d he do that?

I take advantage of a sunny day where the shadow of the pyramid was projected towards the floor. Besides to have a stick of fixed measure with its respective length of known shade, everything in a same instant.

Take a look at the following figure:

Figure used by Tales to calculate the height of the Pyramid.

From this figure the height of the pyramid is «H». Here we can apply the theorem of Thales in similar right triangles as well:

Where the lengths «a», «b» and «h» are all known. So Tales was able to calculate the height of the Pyramid in approximate form.

The reasoning Thales made seems very simple however, we must give all credit to this Sage, since this calculation was made more than 2500 years ago.


Uhlenbeck

Karen Uhlenbeck (born 1942) is an American mathematician, professor emeritus at the University of Texas, and distinguished visiting professor at Princeton University.

She is one of the founders of the field of modern geometric analysis, and the only woman to have received the Abel Prize, one of the highest awards in mathematics.


Problèmes

1. Prove that the converse of the theorem holds: if , is a diameter.

2. Prove that if rectangle is inscribed in a circle, then et are diameters. (Thus, .)

3. is a diameter to circle O with radius 5. If B is on O and , then find .

4. Prove that in a right triangle with AD the median to the hypotenuse, .

5. is a diameter to circle O, B is on O, and D is on the extension of segment tel que is tangent to O. If the radius of O is 5 and , find .

6. In a triangle , is the median to the side ( is the midpoint). Si , then prove that without using Thales' theorem. If you have a general understanding of how the theorem works and its proof you can manipulate it into the solution.


Voir la vidéo: Suorakulmaisen kolmion tan, sin ja cos (Juin 2022).


Commentaires:

  1. Shaktir

    Être un bot est maintenant crédible et respecté. Bientôt, des bots recevront des médailles et les placeront dans le livre Guinness des dossiers pour l'excellence dans l'idotisme

  2. Goltikus

    Vous, peut-être, vous êtes trompé?

  3. Hieu

    thème

  4. Taurg

    Quel message drôle

  5. Fibh

    Je donne à quelqu'un un personnage CGI)))))



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